Torneo di giochi matematici

Ecco le soluzioni ai quesiti del torneo di giochi matematici del mese di novembre. Solo alle soluzioni complete e motivate è stato assegnato il punteggio massimo di tre punti. Una copia di questo file si trova anche su internet, sul sito della scuola, all'indirizzo http://www.fermi.mo.it/~zar/. La numerazione degli esercizi parte da 57 perché continua la numerazione usata nel torneo dello scorso anno, i cui testi si possono trovare sempre sul sito della scuola.

Quesito 57   Determinare tutti gli interi $n$ tali che $n^4+4$ sia un numero primo.

L'espressione $n^4+4$ è un numero primo solo per $n=1$. Infatti il binomio $n^4+4$ può essere scomposto in questo modo:

$$n^4+4=(n^2+2)^2-4n^2=(n^2-2n+2)(n^2+2n+2).$$

Per ogni numero intero $n$ si ha che $n^2+2n+2$ è sempre maggiore di 1. Allora, affinché $n^4+4$ sia primo, occorre che $n^2-2n+2$ sia uguale a 1. Impostiamo dunque l'equazione $n^2-2n+2=1$: portando $1$ a sinistra dell'uguale otteniamo $n^2-2n+1=0$, cioè $(n-1)^2=0$, quindi $n=1$. Quindi se $n\ne1$ il numero $n^4+4$ certamente non è un numero primo. Se invece $n=1$ abbiamo $n^4+4=5$, che effettivamente è un numero primo.

Quesito 58   Dimostrare che è impossibile costruire un dado in cui ogni faccia sia un poligono con un numero diverso di lati.

Sia $n$ il numero delle facce del dado. I diversi lati di ogni faccia confinano con facce distinte (non è possibile che un lato confini con due diverse facce, o più), quindi ogni faccia può avere un numero di lati compreso tra $3$ e $n-1$. Allora ci sono almeno due facce con lo stesso numero di lati.

Quesito 59   Quattro alpinisti devono scalare una montagna: salgono in due alla volta, e ogni volta uno di loro ridiscende per riportare gli attrezzi per la scalata ai compagni rimasti in basso. Il tempo impiegato da ogni alpinista per salire in coppia è uguale al tempo che egli stesso impiega per ridiscendere da solo: Alice impiega 2 ore, Bruno ne impiega 1, Carlo ne impega 7 e Dario ne impiega 5. Naturalmente la velocità di salita di una coppia di alpinisti è quella del più lento dei due: se Alice e Bruno salgono insieme, impiegano 2 ore, ma se salgono Alice e Carlo ne impiegano 7. Come possono organizzarsi per riuscire a scalare tutti quanti la montagna nel minor tempo possibile? E quanto tempo impiegano, complessivamente?

I quattro alpinisti possono trovarsi tutti in cima in 14 ore. Per farcela devono salire prima Alice e Bruno che, muovendosi alla velocità di Alice, impiegano 2 ore; poi scende Alice, che impiega altre 2 ore; quindi, alla velocità di Carlo, salgono quest'ultimo e Dario in 7 ore e scende Bruno in un'ora. L'ultima salita è effettuata da Alice e Bruno che, come prima, ci mettono 2 ore. In totale le ore sono $2+2+7+1+2=14$.

Quesito 60   Alice e Bruno hanno organizzato un simpatico gioco: hanno preso una bambola, che rappresenta la loro professoressa di matematica, e la hanno messa sul bordo di un tavolo, che rappresenta il bordo di uno strapiombo. Dietro la prof, un'infinita distesa di terra; davanti a lei, un destino ineluttabile. I passi della prof sono tutti della stessa lunghezza, in avanti (verso il vuoto) o all'indietro (verso la salvezza). Viene lanciata una moneta: se esce testa la prof fa un passo avanti, se esce croce un passo indietro. Se sopravvive al primo lancio, ne viene fatto un altro, poi un altro ancora, e così via. Si spera che, dopo un infinito numero di lanci, la prof riesca a allontanarsi dallo strapiombo evitando quindi di cadere. Quali sono le sue probabilità di sopravvivenza?

Purtroppo la prof cadrà con certezza! Numeriamo i passi che possono essere fatti (tutti della stessa lunghezza) con i numeri naturali. La posizione 1 corrisponde alla posizione iniziale, sul bordo dello strapiombo. La posizione 2 corrisponde a un passo indietro, la 3 a due passi indietro, e così via. La posizione 0 corrisponde invece a un passo nel vuoto, e alla inevitabile caduta. Sia $p=P(1\to0)$ la probabilità che la prof, trovandosi in posizione 1, arrivi prima o poi a mettere i piedi nella posizione 0. In generale, definiamo $P(i\to j)$ la probabilità analoga che la prof si trovi in posizione $i$ e prima o poi arrivi in $j$. Per come è posto il problema, abbiamo che $P(2\to1)=P(1\to0)$, basta spostare il punto di partenza a sinistra di una posizione. In generale:

$$P(i\to(i-1))=P(1\to0)=p$$

per ogni numero naturale $i$. Ora cerchiamo di calcolare il valore di $p=P(1\to0)$. Immaginiamo che la prof si trovi in posizione 1 (come all'inizio del gioco). C'è un $50\%$ di probabilità che la prof faccia un passo avanti e cada, e un altro $50\%$ di probabilità che invece faccia un passo indietro. In quest'ultimo caso, per cadere dovrà passare dalla posizione $2$ alla posizione 0 in un certo numero di passi. Ma per passare da $2$ a 0 dovrà prima passare da $2$ a $1$, e poi da $1$ a 0. Queste osservazioni ci portano alle seguenti equazioni:

$$p =P(1\to0)$$

$$=P( )+P( )$$

$$=\frac12+\frac12P(2\to0)$$

$$=\frac12+\frac12P( 2\to1 1\to0 )$$

$$=\frac12+\frac12P(2\to1)P(1\to0)$$

$$=\frac12+\frac12p^2.$$

Allora, eliminando il denominatore 2, si ottiene l'equazione $p^2-2p+1=0$, che si può scrivere $(p-1)^2=0$, e quindi $p=1$. Dunque si può affermare che, con certezza, la prof cadrà nel burrone.